已知a为第三象限角，sin^4a+cos^4a=5/9,则sin2a=

sin^4a+cos^4a
=(sin²a+cos²a)²-2sin²acos²a
=1-(1/2)(2sinacosa)²
=1-(1/2)sin²2a=5/9
sin²2a=8/9

a为第三象限角
2kπ+π<a<2kπ+3π/2
4kπ+2π<2a<4kπ+3π
即(4k+2)π<2a<(4k+2)π+π
所以2a在第一或第二象限或在y的正半轴
所以sun2a>0
所以sin2a=2√2/3

(sin^2a+cos^2a)^2=1
sin^4a+cos^4a+2sin^2acos^2a=1
5/9+(1/2)(2sinacosa)^2=1
(2sinacosa)^2=8/9
sin2a=±2√2/3.

又因为，a为第三象限角，2kП+П<a<2kП+3П/2;
4kП+2П<2a<4kП+3П,即：
2（2kП+1）+0<2(2kП+П)+П

所以：sin2a>0,
则：sin2a=2√2/3.

你首先要知道的：
1. cos(2a)=2cos^2a-1=1-2sin^2a
2. a为第三象限角，则2a为第一或第二象限角，所以sin2a>0
知道了这2点，就好办了。
sin^4a+cos^4a=5/9
[1/2*(1-cos(2a))]^2+[1/2*(cos(2a)+1)]^2=5/9
[cos^2(2a)+1]/2=5/9
cos^2(2a)=1/9
所以cos(2a)=1/3
所以sin(2a)=sqrt(1-1/9)=sqrt(8/9)
因为sin(2a)>0,所以sin(2a)=2sqrt(2)/3
(sqrt()意思是根号)